다각형 바퀴

다각형 바퀴

바퀴는 항상 둥글어야 할까요?
다각형으로 끝이 뾰족한 바퀴도 부드럽게 굴러갈 수 있습니다. 그러기 위해서는 알맞은 바닥이 있어야 합니다.

다각형 바퀴가 부드럽게 굴러가기 위한 바닥은?

위 시뮬레이션에서 보이는 바닥은 ‘현수선(懸垂線, Catenary)’을 뒤집은 것입니다. 현수선은 타원, 포물선, 삼각함수와 비슷하게 생겼지만 서로 조금씩 다릅니다.
‘현수선’이라는 이름은, 선밀도(line density)가 일정한 줄의 양끝을 잡고 있을 때 줄이 늘어뜨러져 있는 모습에서 비롯되었습니다.
현수선을 뜻하는 영어 단어 ‘Catenary’은 쇠사슬에서 비롯되었습니다.

출처 https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%98%84%EC%88%98%EC%84%A0

현수선은 자연로그의 밑수 e의 지수함수로 나타낼 수 있습니다.

\[ \begin{align} y &= \frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}) \\&= a \; cosh(\frac{x}{a}) \end{align} \]

\(a\) 값을 ‘1’로 하면 아래와 같은 현수선을 얻을 수 있습니다.

위 그래프를 x축에 대해 뒤집으면 현수선 도로가 만들어집니다.
e의 지수함수의 특성상, 모든 현수선은 모양에 대해 서로 닮아 있습니다.