중력에 의한 장력
물리학에서 장력은 두 물체를 이은 끈에 걸리는 힘입니다. 일반적으로 장력은 끈의 양 끝에서 끈의 중심 방향을 향하는 것으로 계산합니다.
길이 \( l \)인 진자를 각도 \( \theta_m \) 만큼 들어 올렸다가 놓은 진자를 생각해 봅시다. 끈의 질량은 없는 것으로 가정합니다.
진자에 가해지는 힘의 원천은 중력(=\( mg \))입니다. 이 중력은 다음의 두 힘으로 분해될 수 있습니다.
- ‘중력에 의한 장력’ T = \( mg\cdot cos\theta \)
- ‘중력에 의해 진자를 움직이는 힘’ = \( mg\cdot sin\theta \) (= T와 mg의 벡터합)
진자의 구심력
진자가 최고점에서 내려오면 추가로 하나의 힘이 더 생겨납니다. 진자의 회전운동을 유지하기 위한 구심력입니다.
진자의 길이가 \( l \)이고, 속력이 \( v \)인 경우 구심력은 다음과 같습니다.
\[ F=\frac{mv^2}{l} \]
구심력도 ‘중력에 의한 장력’과 마찬가지로 끈의 끝에서 중심을 향합니다.
줄에 가해지는 전체 장력
줄에 가해지는 전체 장력은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\[ \begin{align} 전체\,장력 &= 중력에\,의한\,장력 \, + \, 구심력 \\&= mg \cdot cos \theta \, + \, \frac{mv^2}{l} \end{align} \]
위의 식에서, \( v \)와 \( l \)을 \( \theta \)에 관련된 식으로 간단하게 만들어 보겠습니다.
최고 진폭이 \( \theta_m \)이고 현재 진폭이 \( \theta \)인 진자를 생각해 봅니다.
에너지 보존 법칙에 의해, 증가한 운동 에너지는 줄어든 위치 에너지와 같습니다.
\[ \frac{1}{2} mv^2 = mgl(cos \theta – cos \theta_m ) \\ \therefore v^2 = 2gl(cos \theta – cos \theta_m ) \]
위의 식을 장력에 대입해 보면,
\[ \begin{align} 전체\,장력 &= 중력에\,의한\,장력 \, + \, 구심력 \\&= mg \cdot cos \theta \, + \, \frac{m \cdot 2gl(cos \theta – cos \theta_m )}{l} \\&= mg \cdot cos \theta \, + \, 2mg(cos \theta – cos \theta_m ) \\&= mg(3cos \theta – 2cos \theta_m ) \end{align} \]
가 됩니다.