구름 마찰은 있고, 미끄럼 마찰은 없다고 가정한 시뮬레이션입니다.
실린더와 육면체는 철의 밀도(7.874g/cm³)를 가정했습니다.
왜 굴러가는 물체는 미끄러져 내려가는 물체보다 느리게 내려갈까요?
결론적으로 얘기하면, 물체를 회전시키는데 에너지의 일부를 낭비했기 때문입니다.
그에 반해 회전없이 미끄러지는 물체는 주어진 위치에너지를 100% 병진 운동에너지로 바꿀 수 있습니다.
미끄럼 마찰이 없다고 가정하면, 물체에 가해진 전체 에너지는 물체를 움직이게 만드는 병진 운동에너지와 물체를 회전시키는 회전 운동에너지로 나누어져셔 배분됩니다.
\[ K\, =\, \frac { 1 }{ 2 } m{ v }^{ 2 }\, +\, \frac { 1 }{ 2 } I{ \omega }^{ 2 } \]
\( m \): 물체의 질량(kg)
\( v \): 물체 질량 중심의 속력(m/s)
\( I \): 물체의 관성 모멘트(kg.m²)
\( w \): 물체의 각속도(rad/s)
반지름을 R이라 하면 미끄러지지 않는 순수한 굴림 운동에 대해 각속도 \( \omega = \frac { v }{ R } \) 이므로, 전체 운동에너지 K는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[ K\, =\, \frac { 1 }{ 2 } (\frac { I }{ { R }^{ 2 } } +m){ v }^{ 2 } \]
이 물체를 운동하도록 만든 에너지의 원천은 빗면의 위치 에너지입니다.
물체가 굴러 내려간 빗면의 길이를 x로 잡으면 빗면의 위치에너지는,
\[ E\, =\, mgx\cdot sin(\theta ) \]
입니다.
공급된 에너지 E와 사용된 에너지 K는 완전히 같으므로,
\[ mgx\cdot sin(\theta )\, =\, \frac { 1 }{ 2 } (\frac { I }{ { R }^{ 2 } } +m){ v }^{ 2 } \]
운동관계식 \( { v }^{ 2 }\, =\, 2ax \) 를 대입하여 간단히 하면,
\[ \begin{split} mgx\cdot sin(\theta )\, &=\, \frac { 1 }{ 2 } (\frac { I }{ { R }^{ 2 } } +m)\cdot 2ax \\ mg\cdot sin(\theta )\, &=\, (\frac { I }{ { R }^{ 2 } } +m)\cdot a \end{split} \]
입니다. 결국, 병진운동의 가속도 a 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[ \therefore a\, =\, \frac { g }{ (\frac { I }{ m{ R }^{ 2 } } +1) } sin(\theta ) \]
위 식에 굴러가는 물체의 관성모멘트를 대입하면 물체의 굴러 내려가는 가속도를 구할 수 있습니다.
따라서 물체가 어떤 식으로든 굴러 내려가는 경우(\( I\neq 0 \)), 단순히 마찰없이 미끄러지는 경우에 비해 느리게 내려갑니다.
또 한가지 재미있는 사실은 물체의 형태가 같다면 물체의 크기에 관계없이 가속도가 같습니다.
예를 들어 같은 모양의 구라면 구의 크기가 서로 달라도 빗면을 내려가는 가속도는 같습니다.
관성 모멘트 ‘\(I\)’
‘관성’이 직선 운동에서 운동 상태를 유지하려는 성질이라면, ‘관성 모멘트’는 회전 운동에서 회전 운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량입니다.
즉, 회전하는 물체는 외력이 가해지지 않으면 계속 회전하려고 합니다.
‘관성’은 오직 물체의 질량에만 비례하는데, ‘관성 모멘트’는 물체의 질량뿐만 아니라 물체의 모양에도 영향을 받습니다.
다음은 여러가지 모양의 물체에 대한 관성모멘트 입니다.
