이 시뮬레이션과 같이 지구에 구멍을 뚫고 물건을 던져 넣으면 지구 반대편으로 보낼 수 있습니다.
이 시뮬레이션은 마찰의 효과를 무시한 경우입니다.
지구는 자전하지 않고 균질한 고체 구라고 가정합니다.
이 시뮬레이션은 사고 실험일 뿐입니다. 현재 기술로 지구에 구멍을 뚫을 수는 없습니다.
Newton의 구각의 법칙
아래 그림의 입자에 작용하는 중력의 힘은 얼마일까요?
뉴턴은 입자의 바깥 구각(구껍질)에서 작용하는 중력의 합은 ‘0’임을 밝혀 내었습니다. 따라서 구의 내부 물질만 중력에 관여합니다.
Newton의 구각 정리를 다시 정리하면 다음과 같습니다.
균질인 구각(구껍질)은 그 내부에 위치하는 입자에 아무런 중력도 작용하지 않는다.
실제 지구의 경우에는 외부 지각이 내부보다 훨씬 밀도가 작으므로 한 입자에 작용하는 힘은 깊은 수직 갱도에 집어 넣으면 약간 증가합니다. 중력 값은 그후에 점점 감소하여 지구 중심에서 ‘0’이 됩니다.
지구 터널의 물체에 작용하는 힘의 계산
입자에 작용하는 힘은 반경 r인 구 내부에 있는 지구의 질량 M’만이 영향을 미칩니다.
이 구의 바깥쪽에 있는 지구의 부분은 입자에 아무런 힘도 미치지 않습니다.(Newton의 구각 정리)
따라서 질량 M’은
\[ M’\, =\, \rho V\, =\, \rho \frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 } \]
입니다. ρ는 균질하다고 가정한 지구의 밀도입니다.
Newton의 중력법칙에 의하면 물체에 작용하는 중력은 거리의 제곱에 반비례하고, 물체의 질량에 비례합니다.
입자에 작용하는 중력 F는
\[ F\, =\, \frac { GmM’ }{ { r }^{ 2 } } \, =\, \frac { Gm\rho 4\pi { r }^{ 3 } }{ 3{ r }^{ 2 } } \, =\, (\frac { Gm\rho 4\pi }{ 3 } )r \]
가 됩니다. G는 만유인력 상수, m은 물체의 질량입니다.
괄호 안의 값은 모두 고정된 숫자로서 용수철 상수에 해당하는 값입니다.
결과적으로 입자에 작용하는 힘은 거리에 완전히 비례함을 알 수 있습니다.
진동 주기의 계산
용수철에 매달린 물체와 같은 단조화 운동의 진동주기는 다음과 같습니다.
\[ T\, =\, 2\pi \sqrt { \frac { m }{ K } } \]
K는 용수철상수로 두번째 식의 ( )안의 값을 대입할 수 있습니다.
따라서, 진동 주기는 다음과 같이 계산됩니다.
\[ \begin{align} T\, &=\, 2\pi \sqrt { \frac { m }{ K } } \, =\, 2\pi \sqrt { \frac { m }{ (\frac { Gm\rho 4\pi }{ 3 } ) } } \, =\, \sqrt { \frac { 3\pi }{ G\rho } } \\ &=\, \sqrt { \frac { 3\pi }{ 6.67\times { 10 }^{ -11 }{ m }^{ 3 }/kg\cdot { s }^{ 2 }\, \cdot \, 5.5\times { 10 }^{ 3 }kg/{ m }^{ 3 } } } \, \\ &\approx \, 5060\, s \end{align} \]
왕복 시간이 약 5060초(=84분) 이므로, 이 터널이 우편 배달에 사용된다면 편도 배달에는 약 42분이 소요됩니다.
우편물이 도착하면 재빨리 잡아내야 합니다. 그렇지 않으면 우편물은 지구 건너편까지 갔다가 84분 후에나 다시 돌아옵니다.
터널을 비스듬히 판 경우
위 그림에서 구각을 제외한 P 안쪽의 질량 M’은
\[ M’\, =\, \rho V\, =\, \rho \frac { 4\pi }{ 3 } \cdot { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 3 } \]
이고, 이에 따라 P에 걸리는 힘은
\[ \begin{align} F\, &=\, \frac { GmM’ }{ { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 2 } } \cdot \frac { r }{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } } \\ &=\, \frac { Gm\rho \frac { 4\pi }{ 3 } \cdot { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 3 } }{ { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 2 } } \cdot \frac { r }{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } } \\ &=\, \frac { Gm\rho 4\pi }{ 3 } \cdot r \end{align} \]
따라서, 터널을 비스듬히 판 경우에도 주기는 변함이 없습니다.