미분법
미분법은 어떤 그래프 f(x)의 한 점에서의 변화량을 구하는 방법입니다. 어떤 그래프의 한 점에서 접선을 그릴 수 있을 때 접선의 기울기를 구하는 과정과 같습니다.
예를 들어 좌표 (x, y)의 한 점이 (x’, y’)으로 변화되었다고 하면 이때의 기울기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\[ 기울기 = \frac{{y}’ – y}{{x}’ – x} \]
보통 과학자들은 변화량으로 그리스 문자 ‘Δ(delta)’를 넣어서 Δx, Δy라고 표현합니다. Δx는 x의 변화량으로서 (x’ – x)와 같습니다.
\[ 기울기 = x에\,대한\,y의\,변화량 = \frac{ \Delta y}{\Delta x} \]
이럴 때 ‘y를 x에 대해 미분했다.’라고 말합니다.
고전 역학에서의 미분
미분은 뉴턴과 라이프니츠가 각각 발견하였다고 전해집니다.
뉴턴은 물체의 운동을 분석하기 위해 미분을 도입하였습니다.
고전역학에서 주로 다루는 미분의 예는 다음과 같습니다.
물체의 위치를 시간에 대해 미분하면 속력이 됩니다. \( v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \)
물체의 속력을 시간에 대해 미분하면 가속력이 됩니다. \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \)
물체의 운동량을 시간에 대해 미분하면 힘이 됩니다. \( f = m \frac{\Delta v}{\Delta t} \)
반지름 r인 구의 부피(\( \frac{4}{3} \pi r^3 \))를 r에 대해 미분하면 구의 표면적(\( 4 \pi r^2 \))이 됩니다.