ポリゴンホイール

ホイールは常に丸くする必要がありますか？
多角形のように尖ったホイールも滑らかに転がすことができます。そのためには適切な床が必要です。

多角形の車輪が転がるための道路は？

上記のシミュレーションで見られる道路は、「懸垂線（Catenary）」を裏返したものです。懸垂線は楕円、放物線、三角関数と似ていますが、少しずつ異なります。
「懸垂線」は、線密度（line density）が一定の線の両端を持っているときに線が伸びている様子です。

懸垂線は、自然対数eの指数関数で表すことができます。

\[ \begin{align} y &= \frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}) \\&= a \; cosh(\frac{x}{a}) \end{align} \]

\(a\) 値を「1」にすると、以下のような懸垂線が得られます。

上のグラフをx軸に対して反転すると、懸垂線道路が作成されます。
eの指数関数の性質上、すべての懸垂線は形状に似ています。