파스칼의 삼각형
파스칼의 삼각형은 수학에서 이항계수(서로 다른 몇 개의 물건 중에서 순서없이 물건을 선택할 수 있는 경우의 수)를 삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것입니다.
이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것입니다.
파스칼의 삼각형은 그 안에 수학적으로 흥미 있는 현상들이 많이 숨어 있습니다.
파스칼의 삼각형 만드는 방법
위쪽의 양쪽 사선 방향에서 내려받은 숫자를 서로 더하면 파스칼의 삼각형이 만들어 집니다.
삼각형의 양쪽 빗면의 숫자는 '1'로 합니다.
![](/lee/contents/pascals_triangle_1.jpg)
파스칼의 삼각형 특징
- 각 행의 합은 2의 거듭제곱과 같습니다.
- 숫자들의 의미 = 위쪽 수열의 합과 같습니다.
- 각 열에 나열된 수는 특별한 의미를 가집니다.
제 1열 = 모두 자연수 '1'입니다.
제 2열 = 자연수의 수열
제 3열 = 삼각수(물건을 모아서 정삼각형 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수)
제 4열 = 사면체수(물건을 쌓아서 정사면체 모양으로 만들 수 있는 물건의 개수)
- 피보나치 수열이 됩니다.
- 0행의 수열 = 0개의 물건 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
- 1행의 수열 = 1개의 물건 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
- 2행의 수열 = 2개의 물건(A, B) 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
- 4행의 수열 = 4개의 물건(A, B, C, D) 중에서 순서 없이 물건을 뽑는 조합의 가짓수
시에르핀스키 삼각형 Sierpinski Curve
![](/lee/contents/pascals_triangle_12.gif)
2의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠해보면, 같은 모양이 되풀이 되는 것을 알 수 있습니다.
모양을 자세히 보면 부분과 전체가 서로 닮아 있습니다. 부분들의 모습이 되풀이 되어 전체모습이 된다는 것은 프랙탈의 기본 원리에 해당됩니다.
- 3의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠한 경우
- 4의 배수에 해당되는 숫자를 다른 색으로 칠한 경우